Capitulos

 

Capitulo 11

CURVAS HORIZONTAIS COM TRANSIÇÃO


11.1. INTRODUÇÃO


Quando um veículo passa de um alinhamento reto para um trecho curvo, surge uma força centrífuga atuando sobre o mesmo, que tende a desviá-lo da trajetória que normalmente deveria percorrer. Este fato representa um perigo e desconforto para o usuário da estrada.


Em outras palavras, a partir da passagem pelo PC, o veículo segue uma trajetória de “transição intermediária” entre a tangente e a curva, a qual varia de acordo com a velocidade, o raio de curvatura e a superelevação. O problema se acentua quando se aumenta a velocidade e se reduz o raio de curvatura, pois a transição se processa numa distância maior, podendo resultar até na invasão da faixa adjacente, como representado pela Fig. 11. 1.

Fig. 11. 1: Problema de invasão da faixa adjacente nas curvas

Uma rodovia para permitir essa transposição com conforto e segurança deve ter um alinhamento, o máximo possível, segundo essa transição, ou seja, deve acompanhar a tendência dos veículos que por ela transitam.


Do ponto de vista teórico, o que se deseja é limitar a ação da força centrífuga sobre o veículo, para que sua intensidade não ultrapasse um determinado valor. Isso se consegue através da utilização de uma curva de transição intercalada entre o alinhamento reto (trecho em tangente) e a curva circular. Esta transição é realizada com o fim de distribuir gradativamente o incremento da aceleração centrífuga. Esta curva de transição tem o seu raio de curvatura passando gradativamente do valor infinito (no ponto de contato com a tangente) ao valor do raio da curva circular. Este ponto de encontro das duas curvas, com o mesmo raio, é conhecido como ponto osculador.


Existem vários critérios diferentes visando orientar o estabelecimento do limite de emprego de curvas de transição. Para fins de projetos rodoviários convencionais, o DNER recomenda o critério associado à velocidade diretriz resumido pelos valores constantes da Tabela 11.1, apresentada a seguir. Segundo esse critério, permite-se a dispensa do uso da curva de transição quando a aceleração centrífuga a que o veículo é submetido na curva for igual ou inferior a 0,4 m/s2.


Tabela 11. 1: Valores-limite dos raios R acima dos quais podem ser dispensadas curvas de transição

São em número de quatro as curvas que podem ser auxiliares como transição: a CLOTÓIDE (também denominada ESPIRAL DE CORNU, RADIÓIDE AOS ARCOS ou ESPIRAL DE VAN LEBER), a LEMNISCATA DE BERNOUILLE, a CURVA ELÁSTICA (também denominada de RADIÓIDE ÀS ABSCISSAS) e a PARÁBOLA CÚBICA.

Fig. 11. 2: Curvas de raio variável

Só vamos estudar a CLOTÓIDE, pois é a curva comumente utilizada no Brasil.


Por definição, a clotóide ou espiral é uma curva tal que os raios de curvatura em qualquer de seus pontos é inversamente proporcional aos desenvolvimentos de seus respectivos arcos.


Chamando:


L = comprimento do arco;
R = raio de curvatura no extremo do referido arco
a lei de curvatura da espiral é expressa pela relação:

onde K é o parâmetro da espiral.


No ponto SC (Fig. 11. 3, apresentada a na próxima seção) temos R = Rc e L = Le, onde:
Rc = raio da curva circular;


Le = comprimento da espiral ou comprimento da transição, que é o desenvolvimento entre os pontos TS e SC).


Assim sendo, a Equação da Espiral pode ser escrita como:

11.2. ESPIRAL DE CORNU EMPREGADA COMO CURVA DE TRANSIÇÃO


Em vários casos usa-se a ESPIRAL DE CORNU como curva de transição entre a tangente e a curva circular, na concordância horizontal de traçados rodoviários e ferroviários.
A adoção de espirais proporciona uma série de vantagens ao traçado da estrada, tais como:


• aumento e diminuição gradativa da força centrífuga que atua sobre os veículos nas curvas;


• a transição entre a inclinação transversal do trecho em tangente para a superelevação do trecho em curva pode ser efetuada na curva de transição;


• no caso de superlargura numa seção transversal em curva circular, a espiral facilita a transição da largura do trecho em tangente para o trecho alargado na curva circular;


• a visualização da estrada torna-se melhor pela supressão de descontinuidade no início e no fim das curvas circulares.


Considere-se, como mostrado na Figura 11.2, duas tangentes que se cortam segundo a deflexão “Δ”:

Fig. 11. 3: Principais elementos da transição em espiral

Os elementos principais da transição são:


TS = ponto Tangente-Espiral
SC = ponto Espiral-Curva Circular
CS = ponto Curva Circular-Espiral
ST = ponto Espiral-Tangente
PC’ e PT’ = recuos de PC e PT originais devido à introdução da espiral;
P e P’ = pontos de passagem da espiral
R = Raio da Curva Circular
Δ = ângulo central ou deflexão das tangentes = θ + 2.Sc
Sc = ângulo central da transição
θ = ângulo central da curva circular
Le = comprimento da curva de transição (escolhido)
Yc e Xc = coordenadas de CS ou SC em relação ao TS ou ST
p e q = coordenadas do recuo de PC e PT em relação à TS ou ST.
c = corda da espiral;
ic = ângulo entre a corda e a tangente em TS;
jc = ângulo entre a corda e a tangente em SC.


Vamos supor tais tangentes inicialmente concordadas por uma curva circular simples de centro “O” e raio “R”, cujos pontos de contato com as tangentes são PC e PT. Para a inserção da transição em espiral, a curva circular original sofre uma translação “t”, o que desloca seu centro “O” para “O1”. A transição se faz suprimindo parte das tangentes e parte da curva circular. Este método é denominado de RAIO CONSERVADO, com a transição feita pelo eixo da estrada, porque mantém os elementos da curva circular (raio, G, etc). Assim, é que o ponto de tangência no início da curva passa a ser denominado TS (tangente-espiral) e é afastado do PC original ao longo da tangente. O mesmo acontece com o fim da curva, onde o ponto de tangência passa a ser denominado ST (espiral-tangente).


A espiral é tal que seu raio de curvatura varia desde o valor infinito, nos pontos de tangência (TS e ST), até um valor finito, igual ao valor do raio da curva circular, nos pontos de contato SC e CS, onde as curvas são osculatrizes.


Após a inserção da concordância em espiral, o ângulo central AC passará a compreender os ângulos centrais “Sc”, de cada ramo da espiral, e o ângulo central “θ“, remanescente da curva circular (arco de círculo entre o SC e o CS), isto é:

Para que a transição se verifique sem que haja superposição dos ramos da espiral é, então, necessário que:

À expressão (11.4) dá-se a denominação de CONDIÇÃO DE TRANSIÇÃO, que deve ser sempre verificada. Isto significa que, dados dois alinhamentos consecutivos que formam entre si a deflexão Δ, o valor do comprimento de cada ramo da curva espiral, escolhida para auxiliar a concordância entre alinhamentos, deve ser tal que o ângulo central Sc que o compreenda obedeça à condição de transição (11.4). O valor de Sc é constante para cada par de valores de “R” e “le” (comprimento do trecho em espiral).


Os principais elementos usados para caracterizar uma curva circular com transição em curva espiral são os que podem ser observados na figura anterior, a saber:


TS ⇒ ponto de passagem do alinhamento reto para a curva espiral.
SC ⇒ ponto de passagem da curva circular para a curva espiral.
CS ⇒ ponto de passagem da curva circular para a curva espiral.
ST ⇒ ponto de passagem da curva espiral para o alinhamento reto.
Sc ⇒ ângulo central do trecho em espiral. Este ângulo pode ser calculado pelas expressões:

 

Xc e Yc ⇒ coordenadas cartesianas dos pontos osculadores SC e CS. Podem ser calculados através das seguintes expressões:

onde Le ⇒ comprimento do trecho em espiral.


“q” e “p” ⇒ coordenadas retangulares de recuo do PC e PT, da curva circular original em relação à tangente, tomando como referência o TS ou ST.


Podem ser calculados pelas expressões:

θ ⇒ Ângulo central do trecho circular, após intercalação da espiral. A partir da expressão (11.3), tem-se que:

Dθ ⇒ Desenvolvimento do trecho circular, após a intercalação da espiral. Pode ser calculado através da expressão:

Rc ⇒ Raio da curva circular empregada;
Ts ⇒ tangentes da curva circular com transição em espiral. Seu cálculo pode ser feito a partir da expressão:

t ⇒ Recuo máximo da curva circular original, para a nova posição, quando se faz a transição em espiral. Seu valor é dado por:

ic = ângulo entre a corda e a tangente em TS;
jc = ângulo entre a corda e a tangente em SC.


Estes valores podem ser calculados pelas seguintes expressões:

Valores de Sc, Xc, Yc, q, p, ic, jc ⇒ podem ser encontrados em tabelas, para os valores de le e R mais comumente utilizados. (vide CARVALHO, 1966).


Os valores de “q” e “p” também podem ser determinados, com relativa precisão, através das seguintes expressões:

11.3. COMPRIMENTO MÍNIMO DE TRANSIÇÃO


11.3.1.Critério do Comprimento Mínimo Absoluto


Para fins práticos, o menor comprimento de transição admissível é de 30 m ou o equivalente à distância percorrida por um veículo, na velocidade diretriz, no tempo de 2 segundos, prevalecendo o maior.


Comprimentos de transição inferiores não teriam resultados práticos desejáveis, podendo introduzir distorções visíveis nas bordas da pista, comprometendo esteticamente a rodovia.


Representando por v a velocidade diretriz em m/s, o comprimento mínimo, equivalente à distância percorrida no tempo t = 2 s, será:

ou, expressando a velocidade em km/h:

onde:


Lemín = comprimento mínimo da transição (m);
V = velocidade diretriz (km/h),


lembrando que:

11.3.2.Critério Dinâmico de Barnett


Como visto anteriormente, ao passar um veículo de um alinhamento reto a uma curva circular, há uma variação instantânea do raio infinito da reta para o raio finito da curva circular, surgindo bruscamente uma força centrífuga que tende a desviar o veículo de sua trajetória.


Para minimizar este inconveniente, além de se usar uma curva de transição, seu comprimento deve ser adequado para que o efeito da força centrífuga apareça de maneira gradual.


A variação da aceleração centrífuga que atua num veículo em trajetória circular é dada por:

Em qualquer ponto da espiral, temos:

Então:

Lembrando que:

Substituindo a Equação (11.24) na (11.25):

Sendo o comprimento de transição igual ao produto da velocidade uniforme do veículo pelo tempo que o mesmo necessita para percorrer a espiral, podemos escrever:

Substituindo a Equação (11.27) na (11.26):

Como a variação da aceleração centrífuga que atua sobre o veículo deve ser constante:

O valor da constante J mede a solicitação radial ou reação transversal que experimentam os passageiros dos veículos devido à variação da força centrífuga.

O valor aceitável para J varia para cada condutor. Experiências comprovaram que os valores ideais estão entre 0,3 e 0,8 m/s3. BARNETT, em seu trabalho Transition Curves for Highways, recomenda o valor Jmáx = 0,6 m/s3, valor este adotado pelo DNER.


Adotando Jmáx = 0,6 m/s3, Rc em metros e V em km/h, o comprimento mínimo do trecho de transição, em metros, será:

A Equação (11.31) é a chamada Fórmula de Barnett O valor de le (mínimo) é obtido em metros. Sempre que possível devem ser adotados para Le valores maiores do que o mínimo calculado pela Equação (11.28). Em geral adota-se:

ou:

11.4. COMPRIMENTO MÁXIMO DE TRANSIÇÃO


Corresponde a um valor nulo para o desenvolvimento do trecho circular (Dθ = 0), ou seja, as espirais se encontram. Então:

onde na Equação (11.35) Lemáx e Rc são expressos em metros e AC é expresso em radianos. Para AC em graus, a Equação (11.35) fica:

11.5. ROTEIRO PARA CÁLCULO DOS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS NA CONCORDÂNCIA COM CURVA COM TRANSIÇÃO EM ESPIRAL


1º.) Definição do raio da curva circular (R);


2º.) Com o valor de R, determina-se o comprimento da curva de transição mais adequado;


3º.) Com os valores de “le” e “R”, podem ser imediatamente colhidos os valores de alguns elementos geométricos que independem do Ângulo Central (AC), ou seja, Sc, Xc, Yc, p, q, ic, jc; estes valores podem ser obtidos através do uso de tabelas ou podem ser calculados a partir das expressões apresentadas anteriormente;


4º.) Combinando-se os valores encontrados com o valor do Ângulo Central, determina-se o valor correspondente à Tangente Total (Ts), o ângulo central da curva circular (θ) e o desenvolvimento da curva circular (Dθ);


5º.) Abatendo-se o valor de Ts, em estacas, do valor da estaca correspondente ao PI, determina-se a estaca do TSE ou TSD;


6º.) Partindo-se da estaca do TSE ou TSD e somando-se o valor de Le, em estacas, tem-se a estaca do SC;


7º.) Partindo-se do valor da estaca do ponto correspondente ao SC e somando-se ao mesmo o valor de Dθ, em estacas, tem-se a estaca do CS;


8º.) Partindo-se da estaca do ponto CS, mais o valor de Le, em estacas, tem-se a estaca do ponto correspondente ao ST.


EXEMPLO:


Numa curva de uma rodovia, temos os seguintes elementos: V = 80 km/h, Δ = 35o, Rc = 500m e EST PI = EST 228 + 17,00 m. Determinar: Lemín, Lemáx, Leadotado, Sc, Xc, Yc, θ, p, q, Ts, E, Est TS, Est SC, Est CS, Est ST.

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